Question

5．過(guò)圓x²+y²=4上的點(diǎn)M（1，-$\sqrt{3}$）作圓的切線l，且直線l恰好過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用切線的性質(zhì)可得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，分別令x=0，y=0，求得頂點(diǎn)，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得切線的斜率為k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得切線的方程為y+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
即為x-$\sqrt{3}$y-4=0，
令x=0，可得y=-$\frac{4}{\sqrt{3}}$；
令y=0，可得x=4．
由題意可得a=4，b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
即有離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的切線方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．