Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：x²+y²=4和圓C₂：（x-3）²+y²=1
（1）若直線l過點A（2，0），且被圓C₁截得的弦長為$2\sqrt{2}$，求直線l的方程；
（2）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長是直線l₂被圓C₂截得的弦長的2倍，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），再利用圓C₁的圓心到l的距離、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解即可；
（2）設(shè)出過P點的直線l₁與l₂的點斜式方程，根據(jù)⊙C₁和⊙C₂的半徑，及直線l₁被圓C₁截得的弦長是直線l₂被圓C₂截得的弦長的2，可得⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離2倍，故我們可以得到一個關(guān)于直線斜率k的方程，即可以求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由于A（2，0）在圓C₁上，所以直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），圓C₁的圓心到l的距離為d，所以d=$\sqrt{2}$．
由點到直線l的距離公式得d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，即k²=1，解得k=1或-1，
所以直線l的方程為y=x-2或y=-x+2，即x-y-2=0，或x+y-2=0；
（2）設(shè)點P（a，b）滿足條件，
由題意分析可得直線l₁、l₂的斜率均存在且不為0，
不妨設(shè)直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a），
∵⊙C₁和的半徑r₁=2，⊙C₂的半徑為r₁=1，圓心距O₁0₂=3，
直線l₁被圓C₁截得的弦長是直線l₂被圓C₂截得的弦長的2倍，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離是圓C₂的圓心到直線l₂的距離的2倍，
即$\frac{|b-ka|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2×$\frac{|3-kb-a|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
整理得k（a+2b）+2a-b-6=0或（2b-a）k++2a+b-6=0，
∵k的取值有無窮多個，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=0}\\{2a-b-6=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2b-a=0}\\{2a+b-6=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{12}{5}}\\{b=-\frac{6}{5}}\end{array}\right.$或，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{12}{5}}\\{b=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$
這樣的點只可能是點P₁（$\frac{12}{5}$，-$\frac{6}{5}$）或點P₂（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）
經(jīng)檢驗點P₁和P₂滿足題目條件

點評 本題，考查點到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系，對稱的知識，注意方程無數(shù)解的條件，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，常考題型，是中檔題．