Question

4．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的三視圖如圖所示．
（1）畫出此四棱柱的直觀圖，并求出四棱柱的體積；
（2）若E為AA₁上一點(diǎn)，EB∥平面A₁CD，試確定E點(diǎn)位置，并證明EB⊥平面AB₁C₁D．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三視圖畫出四棱柱的直觀圖，由四棱柱的體積$V={S_{ABCD}}•A{A_1}=6\sqrt{2}$即可得解．
（2）作EF∥AD交A₁D于F，連CF，則易證BCFE為平行四邊形且$AE=\sqrt{2}$．由$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{{B{B_1}}}$，可證BE⊥AB₁，又AD⊥AA₁，AD⊥AB，AA₁∩AB=A．
可證AD⊥平面AA₁B₁B，BE?平面AA₁B₁B，從而證明AD⊥BE，即可證明BE⊥平面AB₁C₁D．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）四棱柱的直觀圖參考右下圖；  …（3分）
四棱柱的體積$V={S_{ABCD}}•A{A_1}=6\sqrt{2}$；…（6分）
（2）存在E為AA₁的中點(diǎn)，EB∥平面A₁CD，并EB⊥平面AB₁C₁D．
證明：作EF∥AD交A₁D于F，連CF，則BCFE共面，
∵EB∥平面A₁CD，
∴BE∥CF，又EF∥BC，
∴BCFE為平行四邊形．
∴$EF=BC=\frac{1}{2}AD$，
∴E為AA₁的中點(diǎn)．…（10分）
在矩形AA₁B₁B中，AB=2，$AE=\sqrt{2}$．
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{{B{B_1}}}$，
∴△AB₁B～△ABE，
∴∠AB₁B=∠ABE，
∴BE⊥AB₁，又AD⊥AA₁，AD⊥AB，AA₁∩AB=A．
∴AD⊥平面AA₁B₁B，BE?平面AA₁B₁B．
∴AD⊥BE，AB₁∩AD=A，
∴BE⊥平面AB₁C₁D．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間中線面關(guān)系，空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．