Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），點(diǎn)M（0，-1），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，直線(xiàn)l：2ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）+1=0，若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸交于N點(diǎn)，則|S_△MAN-S_△MBN|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：y=x²-1．直線(xiàn)l：2ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）+1=0，展開(kāi)化為$\sqrt{3}$x-y+1=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入拋物線(xiàn)方程|S_△MAN-S_△MBN|=$\frac{1}{2}×2×||MA|-|MB||$=|x₁+x₂|．

解答 解：曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：y=x²-1．
直線(xiàn)l：2ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）+1=0，展開(kāi)化為$2ρ×\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-2ρ×\frac{1}{2}sinθ$+1=0，化為$\sqrt{3}$x-y+1=0．
代入拋物線(xiàn)方程可得：x²$-\sqrt{3}$x-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\sqrt{3}$．
∴|S_△MAN-S_△MBN|=$\frac{1}{2}×2×||MA|-|MB||$=|x₁+x₂|=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交三角形面積問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．