Question

17．下列命題：
①常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；
②若直線l：y=kx-$\sqrt{3}$與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）；
③若α，β都是銳角，sinα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=$\frac{5}{13}$，則cosβ=$\frac{63}{65}$
④如果（a-2）x²+（a-2）x-1≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x總成立，則a的取值范圍是[-2，2]．
其中所有正確命題的序號(hào)是②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的定義，可以判斷①，
聯(lián)立兩直線方程到底一個(gè)二元一次方程組，求出方程組的解集即可得到交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)在第一象限得到橫縱坐標(biāo)都大于0，聯(lián)立得到關(guān)于k的不等式組，求出不等式組的解集即可得到k的范圍，然后根據(jù)直線的傾斜角的正切值等于斜率k，根據(jù)正切函數(shù)圖象得到傾斜角的范圍可判斷②，
根據(jù)兩角差的余弦公式，可得cosβ=cos（α+β-α）=$\frac{63}{65}$，故可判斷③，
根據(jù)不等式恒成立的問題，分類討論，即可判斷④．

解答 解：對(duì)于①，例如，0，0，0，…，0是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，故①不正確，
對(duì)于②解：聯(lián)立兩直線方程得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{3}}\\{2x+3y-6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{3}+6}{2+3k}}\\{y=\frac{6k-2\sqrt{3}}{2+3k}}\end{array}\right.$
因?yàn)閮芍本�的交點(diǎn)在第一象限，所以得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{3}+6}{2+3k}＞0}\\{\frac{6k-2\sqrt{3}}{2+3k}＞0}\end{array}\right.$，
解得：k＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)直線l的傾斜角為θ，則tanθ＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）．故②正確；
對(duì)于③∵α，β都是銳角，sinα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=$\frac{5}{13}$，∴cosα=$\frac{3}{5}$，sin（α+β）=$\frac{12}{13}$，
∴cosβ=cos（α+β-α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$，故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)a=2時(shí)，-1≤0成立，當(dāng)a≠2時(shí)，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{（a-2）^{2}+4（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{（a-2）^{2}+4（a-2）≤0}\end{array}\right.$，解得-2≤a＜2，所以a的取值范圍為[-2，2]，故④正確，
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，其中熟練掌握上述基本知識(shí)點(diǎn)，并應(yīng)用這些基本知識(shí)點(diǎn)判斷題目命題的真假是解答本題的關(guān)鍵．