Question

19．已知：
（1）$\overrightarrow{OA}$=（3，4），$\overrightarrow{OB}$=（7，12），$\overrightarrow{OC}$=（9，16）．求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OA}$=（k，12），$\overrightarrow{OB}$=（4，5），$\overrightarrow{OC}$=（10，k），若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k所滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）由題意和向量的運(yùn)算可得$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$坐標(biāo)，由向量平行可得；
（2）可得$\overrightarrow{AB}$=（4-k，-7），$\overrightarrow{AC}$=（10-k，k-12），當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時有（4-k）（k-12）=-7（10-k），解得k值，取反面可得構(gòu)成三角形的條件．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$=（3，4），$\overrightarrow{OB}$=（7，12），$\overrightarrow{OC}$=（9，16），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（4，8），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=（6，12）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴向量$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AB}$共線，又兩向量有公共點(diǎn)A，
∴A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）∵$\overrightarrow{OA}$=（k，12），$\overrightarrow{OB}$=（4，5），$\overrightarrow{OC}$=（10，k），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（4-k，-7），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=（10-k，k-12），
∴當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時有（4-k）（k-12）=-7（10-k），
解得k=-2或k=11，故當(dāng)點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形時k≠-2且k≠11．

點(diǎn)評 本題考查平行向量和共線向量，涉及三點(diǎn)共線和構(gòu)成三角形的條件，屬基礎(chǔ)題．