Question

14．設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，左右頂點(diǎn)為A₁，A₂，雙曲線C₂的焦點(diǎn)為A₁，A₂，頂點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，橢圓C₁與雙曲線C₂交于P₁，P₂，P₃，P₄四點(diǎn)，若直線P₂P₄的斜率為$\frac{1}{2}$，則橢圓C₁的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的半焦距為c，且a²-b²=c²，求出橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，可得雙曲線的方程，運(yùn)用直線的斜率公式，可得P₄（2n，n），代入橢圓方程和雙曲線方程，運(yùn)用離心率公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)橢圓的半焦距為c，且a²-b²=c²，
由橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
左右頂點(diǎn)為A₁（-a，0），A₂（a，0），
由題意可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
設(shè)P₄（m，n），可得P₂（-m，-n），
由直線P₂P₄的斜率為$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{n}{m}$=$\frac{1}{2}$．即m=2n，
將（2n，n）代入橢圓的方程和雙曲線的方程，可得
$\frac{4{n}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{4{n}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
兩式相除，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{4}{{c}^{2}}$-$\frac{1}{{a}^{2}-{c}^{2}}$，
即有$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{c}^{2}}$=$\frac{2}{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
可得2c⁴-5a²c²+2a⁴=0，
即有c²=2a²，或a²=2c²，
則橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)在曲線上，則滿足曲線方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．