4.三棱錐P-ABC,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D為PA上一點(diǎn),AD=2DP,O為底面三角形中心.
(1)求證:DO∥平面PBC;
(2)求證:BD⊥AC.

分析 (1)連接AO交BC于點(diǎn)E,連接PE,由三角形中心的性質(zhì)可得AO=2OE,從而DO∥PE,得出線面平行;
(2)由平面PBC⊥平面ABC可得PE⊥平面ABC,由DO∥PE可得DO⊥平面ABC,故DO⊥AC,由三角形中心性質(zhì)得AC⊥BO,從而AC⊥平面DOB,得出BD⊥AC.

解答 解:(1)連接AO交BC于點(diǎn)E,連接PE,
∵O為正三角形ABC的中心,∴AO=2EO,
又AD=2DP,∴DO∥PE,
∵DO?平面PBC,PE?平面PBC,
∴DO∥平面PBC.
(2)∵PB=PC,且E為BC中點(diǎn),∴PE⊥BC,
又平面PBC⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC,
由(1)知,DO∥PE,∴DO⊥平面ABC,
∴DO⊥AC.連接BO,則AC⊥BO,
又DO∩BO=O,DO?平面DOB,BO?平面DOB,
∴AC⊥平面DOB,∵BD?平面DOB,
∴AC⊥BD.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行,線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.設(shè)函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+1,-1≤x≤\frac{π}{2}}\\{sinx,\frac{π}{2}<x≤2π}\end{array}\right.$.
(1)求f(x)的定義域,并指出它的分段點(diǎn);
(2)求f(0),f($\frac{π}{2}$),f($\frac{3π}{2}$),f(2π);
(3)畫出它的圖象.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且BA⊥AC,AC=4,AB=3,二面角B-A1C1-B1的余弦值為$\frac{3}{5}$,E在線段CC1上運(yùn)動(dòng)(含端點(diǎn)),F(xiàn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)(含端點(diǎn)).
(1)若E,F(xiàn)運(yùn)動(dòng)到C1E=1,BF=$\frac{3}{4}$時(shí),求證:EF∥平面A1C1B;
(2)若E,F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,始終保持$\frac{CE}{AF}$=2,求此種情形下直線EF與平面A1C1B所成角的正弦值的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

12.已知橢圓C:x2+4y2=4,直線$y=\frac{1}{2}x+b$與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(Ⅲ)若b=1,求弦AB的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

19.若函數(shù)f(x)=cosωx(ω>0)在$x∈[-\frac{π}{3},\frac{π}{4}]$上的最大、最小值之和為0,則ω的最小值為3.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.如圖,AB時(shí)圓O的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),PA=AB,∠ABC大小為θ,點(diǎn)D、E分別在棱PB,PC上.
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)是否存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-P為直二面角?并說(shuō)明理由;
(3)如圖,過(guò)點(diǎn)A作平面α分別交PB、PC于M、N,且PB⊥平面α,sinθ為何值時(shí),△AMN的面積S有最大值?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

16.若函數(shù)f(x)=$\frac{lg(\sqrt{a+9{x}^{2}}-3x)}{x}$的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則a的值為1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

13.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56人,女運(yùn)動(dòng)員42人,若用分層抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本,則樣本中女運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為12人.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

14.設(shè)m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,則( 。
A.若m∥α,n∥α,則m∥nB.若m∥α,m∥β,則α∥βC.若m∥n,n⊥α,則m⊥αD.若m∥α,α⊥β,則m⊥β

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案