Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₃+a₅=-4．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a₄=-1，且2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^*，k∈R），
①證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列；
②?求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由題意列方程組求出首項和公差得答案；
（Ⅱ）①由a₄=-1，且2a_n+1=a_n+a_n+2+k求出k值，進(jìn)一步變形可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列；
②利用累加法求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 （Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{2{a}_{1}+6d=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{n}=-\frac{4}{3}n+\frac{10}{3}$；
（Ⅱ）①證明：由題意，2a₄=a₃+a₅+k，即-2=-4+k，∴k=2，
又a₄=2a₃-a₂-2=3a₂-2a₁-6，∴a₂=3，
由2a_n+1=a_n+a_n+2+2，得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=1為首項，-2為公差的等差數(shù)列；
②解：由①知，a_n+1-a_n=-2n+3，
當(dāng)n≥2時，有a_n-a_n-1=-2（n-1）+3，
于是，a_n-1-a_n-2=-2（n-2）+3，
…
a₃-a₂=-2×2+3，
a₂-a₁=-2×1+3，
疊加得，a_n-a₁=-2[1+2+…+（n-1）]+3（n-1），（n≥2）
∴${a}_{n}=-2×\frac{n（n-1）}{2}+3（n-1）+2=-{n}^{2}+4n-1$，（n≥2）
又當(dāng)n=1時，a₁=2也適合，
∴${a}_{n}=-{n}^{2}+4n-1$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．