Question

9．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)為F，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若FH的中點(diǎn)M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)一漸近線方程為y=$\frac{a}$x，則F₂H的方程為y-0=k（x-c），代入漸近線方程 求得H的坐標(biāo)，有中點(diǎn)公式求得中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線求得離心率．

解答 解：由題意可知，一漸近線方程為y=$\frac{a}$x，則F₂H的方程為 y-0=k（x-c），
代入漸近線方程 y=$\frac{a}$x，可得H的坐標(biāo)為（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
故F₂H的中點(diǎn)M（$\frac{c+\frac{{a}^{2}}{c}}{2}$，$\frac{ab}{2c}$），
根據(jù)中點(diǎn)M在雙曲線C上，
∴$\frac{（\frac{{a}^{2}}{c}+c）^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{{a}^{2}^{2}}{4^{2}{c}^{2}}$=1，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=2，故e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．