Question

12．已知數(shù)列{a_n}各項均不相等，a_n+1=pa_n+qa_n-1（n≥2）．
（1）當p=3，q=-2時，求證：數(shù)列{a_n-a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）試問p，q滿足什么條件時{a_n-a_n-1}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）將右側(cè)的a_n拆開1個移到左側(cè)，計算$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，若結(jié)果為常數(shù)，則結(jié)論成立；
（2）假設(shè){a_n-a_n-1}為等比數(shù)列，則$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=常數(shù)，設(shè)公比為k，用a_n和a_n-1表示出a_n+1，對照已知條件，由系數(shù)相等列出方程，得到p，q的關(guān)系．

解答 證明：（1）當p=3，q=-2時，a_n+1=3a_n-2a_n-1，∴a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠a_n-1，∴$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2．∴數(shù)列{a_n-a_n-1}為等比數(shù)列．
（2）∵a_n+1=pa_n+qa_n-1，∴a_n+1-a_n=（p-1）a_n+qa_n-1，
∵{a_n-a_n-1}為等比數(shù)列，設(shè)公比為k（k≠0），則$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=k，∴a_n+1-a_n=ka_n-ka_n-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-1=k}\\{q=-k}\end{array}\right.$，兩式相加得p+q-1=0，又k≠0得p≠1，q≠0，
∴當p+q-1=0且p≠1時，{a_n-a_n-1}為等比數(shù)列．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，等比關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．