Question

3．如圖，在正方形AG₁G₂G₃中，點(diǎn)B，C分別是G₁G₂，G₂G₃的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是G₃C，AC的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AB，BC及AC把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G₁，G₂，G₃三點(diǎn)重合，重合后記為G．
（I）判斷在四面體GABC的四個(gè)面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，寫出其直角（只需寫出結(jié)論）；
（Ⅱ）請?jiān)谒拿骟wGABC的直觀圖中標(biāo)出點(diǎn)E，F(xiàn)，并求證：EF∥平面ABG；
（Ⅲ）求證：平面EFB⊥平面GBC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊前后折痕一側(cè)的角不發(fā)生變化可知∠AGB=∠AGC=∠BGC=90°，
（2）根據(jù)AG⊥GB，AG⊥GC可得AG⊥平面GBC，故而AG⊥BC；
（3）連結(jié)EF，則EF∥AG，故而EF⊥平面GBC，所以平面EFB⊥平面GBC．

解答 解：（Ⅰ） 在正方形AG₁G₂G₃中，∠G₁，∠G₂，∠G₃都是直角．
沿AB，BC及AC把這個(gè)正方形折成四面體GABC后，此三個(gè)角度數(shù)不變．
即 在四面體GABC的四個(gè)面中，
在△AGB中，∠AGB=90°，
在△AGC中，∠AGC=90°，
在△BGC中，∠BGC=90°，△ABC不是直角三角形．
故 分別在平面AGB，平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形．
（Ⅱ）在四面體GABC的直觀圖中標(biāo)出點(diǎn)E，F(xiàn)
證明：因?yàn)樵凇鰽GC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是GC，AC的中點(diǎn)，
所以EF∥AG，
因?yàn)镋F?平面ABG，AG?平面ABG，
所以EF∥平面ABG．
（Ⅲ）證明：在四面體GABC中，∠AGB=90°，∠AGC=90°，
即 AG⊥GB，AG⊥GC，
因?yàn)樵谄矫鍮GC中，GB∩GC=G
所以AG⊥平面BGC．
由（Ⅱ）已證EF∥AG，
所以EF⊥平面BGC．
因?yàn)镋F?平面EFB
所以平面EFB⊥平面GBC．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定，屬于中檔題．