Question

17．已知函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，且當(dāng)x＞2時滿足xf′（x）＞2f′（x）+f（x），則（　�。�

• A． 2f（1）＜f（4）
• B． 2f（$\frac{3}{2}$）＜f（4）
• C． f（0）＜4f（$\frac{5}{2}$）
• D． f（1）＜f（3）

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x-2}$，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：由xf′（x）＞2f′（x）+f（x），
得（x-2）f′（x）-f（x）＞0，
設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{x-2}$，則h′（x）=$\frac{（x-2）f′（x）-f（x）}{（x-2）^{2}}$，
∵（x-2）f′（x）-f（x）＞0，
∴當(dāng)x＞2時，h′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
∵f（x+2）是偶函數(shù)，∴f（x+2）關(guān)于x=0對稱，
即f（x）關(guān)于x=2對稱，
即f（1）=f（3），故D錯誤，
f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$），f（0）=f（4），
則h（$\frac{5}{2}$）＜h（4），即$\frac{f（\frac{5}{2}）}{\frac{5}{2}-2}$＜$\frac{f（4）}{4-2}$，即4f（$\frac{5}{2}$）＜f（4），即4f（$\frac{5}{2}$）＜f（0），即故C錯誤，
同時4f（$\frac{5}{2}$）=4f（$\frac{3}{2}$）＜f（4），
由h（3）＜h（4），得$\frac{f（3）}{3-2}$＜$\frac{f（4）}{4-2}$，即2f（3）＜（4），
即2f（1）＜（4），
故選：A．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)不等式關(guān)系構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．