Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，且?x∈R，有f（-x）+f（x）=2sin²x，則以下大小關(guān)系一定不正確的是（　�。�

• A． $f（{-\frac{π}{6}}）＜f（{-\frac{2π}{3}}）$
• B． $f（{\frac{π}{4}}）＜f（π）$
• C． $f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{2π}{3}}）$
• D． $f（{-\frac{π}{4}}）＜f（{-π}）$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-sin²x，由g（-x）+g（x）=0，可得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）在R上是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-sin²x，
∵f（-x）+f（x）=2sin²x，
∴g（-x）+g（x）=f（-x）+f（x）-2sin²x=2sin²x-2sin²x=0，
即g（-x）=-g（x），
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，
∴在（0，+∞）上g′（x）=f′（x）-sin2x′（x）＜0，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是減函數(shù)，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是減函數(shù)，
即g（$\frac{π}{4}$）＞g（π）；
即f（$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$＞f（π）-0；
即有f（$\frac{π}{4}$）＞f（π），
所以B不成立，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．