Question

14．已知函數(shù)$f（x+\frac{π}{4}）=sin（2x+\frac{π}{4}）$
（Ⅰ）求f（x）解析式及其對稱中心；
（Ⅱ）若$a∈[-\frac{π}{4}，\frac{7π}{24}]$，求f（a）的值范圍．

Answer 1

分析 （1）用換元法求出f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得函數(shù)的對稱中心．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（a）的值范圍．

解答 解：（1）設(shè)$t=x+\frac{π}{4}，x=t-\frac{π}{4}$，∴$f（t）=sin（2t-\frac{π}{2}+\frac{π}{4}）=sin（2t-\frac{π}{4}）$，∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{4}）$，
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，可得它的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，0），k∈Z．
（2）若$a∈[-\frac{π}{4}，\frac{7π}{24}]$，則$2a-\frac{π}{4}∈[-\frac{3π}{4}，\frac{1}{3}π]$，∴f（a）=sin（2a-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查求函數(shù)的解析式，正弦函數(shù)的對稱性、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．