Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-1+x-2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．g（x）=x²-ax-a+3．若存在實數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）=0．且|x₁-x₂|≤1，則實數(shù)a的取值范圍是[2，3]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，可得f（x）遞增，解得f（x）=0的解為1，由題意可得x²-ax-a+3=0在0≤x≤2有解，
即有a=$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2在0≤x≤2有解，求得（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2的范圍，即可得到a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x-1+x-2的導數(shù)為f′（x）=e^x-1+1＞0，
f（x）在R上遞增，由f（1）=0，可得f（x₁）=0，解得x₁=1，
存在實數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）=0．且|x₁-x₂|≤1，
即為g（x₂）=0且|1-x₂|≤1，
即x²-ax-a+3=0在0≤x≤2有解，
即有a=$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2在0≤x≤2有解，
令t=x+1（1≤t≤3），則t+$\frac{4}{t}$-2在[1，2]遞減，[2，3]遞增，
可得最小值為2，最大值為3，
則a的取值范圍是[2，3]．
故答案為：[2，3]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調性和極值、最值，考查參數(shù)分離法和運算能力，屬于中檔題．