Question

9．給出下列結(jié)論：
①在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=x^-1，$y={x^{\frac{1}{2}}}$，y=（x-1）²，y=x³中有三個(gè)是增函數(shù)；
②若log_m3＜log_n3＜0，則0＜n＜m＜1；
③若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱(chēng)；
④已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^{x-2}}，x≤2\\{log_3}（x-1），x＞2\end{array}\right.$則方程 $f（x）=\frac{1}{2}$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由基本初等函數(shù)的單調(diào)性，可得①中的函數(shù)只有2個(gè)是增函數(shù)，故①不正確；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行等價(jià)變形，可得②正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移公式，結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得③正確；根據(jù)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合分類(lèi)討論解關(guān)于x的方程$f（x）=\frac{1}{2}$，可得④正確．由此可得本題的答案

解答 解：對(duì)于①，四個(gè)函數(shù)中y=x^-1在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，
y=（x-1）²在區(qū)間（0，+∞）上先減后增，可得有2個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足增函數(shù)條件，故①不正確；
對(duì)于②，由log_m3＜log_n3＜0，得0＞log₃m＞log₃n
由函數(shù)y=log₃x是增函數(shù)，可得0＜n＜m＜1，故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，得y=f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
將函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位，得y=f（x-1）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱(chēng)，得③正確；
對(duì)于④，函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^{x-2}}，x≤2\\{log_3}（x-1），x＞2\end{array}\right.$，可得當(dāng)x=2-log₃2或x=$\sqrt{3}$+1時(shí)滿(mǎn)足$f（x）=\frac{1}{2}$，即方程$f（x）=\frac{1}{2}$有2個(gè)實(shí)數(shù)根，可得④正確
其中的真命題是②③④，共3個(gè)
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性及圖象特征和指對(duì)數(shù)運(yùn)算法則等知識(shí)，屬于中檔題．