【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）已知的內(nèi)切圓半徑的最大值為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)（不與重合）.設(shè)的外心為，求證為定值.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）當(dāng)面積最大時(shí)，最大，即點(diǎn)位于橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，即可得到的值，再利用離心率求得，即可得答案；

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，代入橢圓方程得.設(shè)，利用弦長(zhǎng)公式求得，利用的垂直平分線方程求得的坐標(biāo)，兩個(gè)都用表示，代入中，即可得答案.

（1）由題意知：，∴，∴.

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，

則，

故當(dāng)面積最大時(shí)，最大，即點(diǎn)位于橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，

所以，把代入，解得：，

所以橢圓方程為.

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，

代入橢圓方程得.

設(shè)，則，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以.

因?yàn)?/span>是的外心，所以是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)，的垂直平分線方程為，

令，得，即，所以

所以，所以為定值，定值為4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知P是圓F1：（x+1）2+y2＝16上任意一點(diǎn)，F2（1，0），線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）記曲線C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，M是直線x＝1上任意一點(diǎn)，直線MA，MB與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為D，E，求證：直線DE過定點(diǎn)H（4，0）.

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（1）若不等式的解集為，求a的值；

（2）在（1）的條件下，若存在，使，求t的取值范圍．

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【題目】已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由.

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex－ax－1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），a＞0．

（1）若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，證明：aa＝ea－1；

（2）若f（x）≥0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

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【題目】某大型工廠有6臺(tái)大型機(jī)器，在1個(gè)月中，1臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為.已知1名工人每月只有維修2臺(tái)機(jī)器的能力（若有2臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障，工廠只有1名維修工人，則該工人只能逐臺(tái)維修，對(duì)工廠的正常運(yùn)行沒有任何影響），每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)得到維修，就能使該廠獲得10萬(wàn)元的利潤(rùn)，否則將虧損2萬(wàn)元.該工廠每月需支付給每名維修工人1萬(wàn)元的工資.

（1）若每臺(tái)機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)，有工人進(jìn)行維修（例如：3臺(tái)大型機(jī)器出現(xiàn)故障，則至少需要2名維修工人），則稱工廠能正常運(yùn)行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月能正常運(yùn)行的概率；

（2）已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.

（�。┯浽搹S每月獲利為萬(wàn)元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘1名維修工人？

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（1）求證：平面ABE⊥平面GHF；

（2）求直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值．

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（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，對(duì)于，的值域?yàn)?/span>，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】甲、乙兩個(gè)排球隊(duì)在采用局勝制排球決賽中相遇，已知每局比賽中甲獲勝的概率是.

（1）求比賽進(jìn)行了局就結(jié)束的概率；

（2）若第局甲勝，兩隊(duì)又繼續(xù)進(jìn)行了局結(jié)束比賽，求的分布列和數(shù)學(xué)期望

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