【題目】已知P是圓F1:(x+1)2+y2=16上任意一點,F2(1,0),線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q,當(dāng)點P在圓F1上運動時,記點Q的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)記曲線C與x軸交于A,B兩點,M是直線x=1上任意一點,直線MA,MB與曲線C的另一個交點分別為D,E,求證:直線DE過定點H(4,0).
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義即可求出點Q的軌跡方程;
(2)設(shè)出點M的坐標(biāo),表示出直線MA的方程,與橢圓方程聯(lián)立可求得點的坐標(biāo),同理可求得點的坐標(biāo),再利用三點共線的條件即可證出.
(1)由已知|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4,
所以點Q的軌跡為以為F1,F2焦點,長軸長為4的橢圓,
故2a=4,a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3
所以曲線C的方程為
(2)由(1)可得A(﹣2,0),B(2,0),設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,m)
直線MA的方程為:
將與聯(lián)立消去y整理得:(4m2+27)x2+16m2x+16m2﹣108=0,
設(shè)點D的坐標(biāo)為(xD,yD),則,
故,則
直線MB的方程為:y=﹣m(x﹣2)
將y=﹣m(x﹣2)與聯(lián)立消去y整理得:(4m2+3)x2﹣16m2x+16m2﹣12=0
設(shè)點E的坐標(biāo)為(xE,yE),則,
故,則
HD的斜率為
HE的斜率為
因為k1=k2,所以直線DE經(jīng)過定點H.
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【題目】已知橢圓C:的右焦點坐標(biāo)為,且點在C上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線l與C交于M,N兩點,P為線段MN的中點,A為C的左頂點,求直線AP的斜率k的取值范圍.
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【題目】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中點表示十月的平均最高氣溫約為,點表示四月的平均最低氣溫約為.下面敘述不正確的是( )
A.各月的平均最高氣溫都在以上
B.六月的平均溫差比九月的平均溫差大
C.七月和八月的平均最低氣溫基本相同
D.平均最低氣溫高于的月份有5個
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的方程為.
(1)以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)在(1)的條件下,直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)曲線與直線的交于點和點,曲線與直線的交于點和點,求的面積.
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【題目】已知,是曲線上任意一點,動點滿足.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)過點的直線交于,兩點,過原點與點的直線交直線于點,求證:.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,是橢圓上一動點(與左、右頂點不重合)已知的內(nèi)切圓半徑的最大值為,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過的直線交橢圓于兩點,過作軸的垂線交橢圓與另一點(不與重合).設(shè)的外心為,求證為定值.
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