Question

5．在一次導彈實驗中，為了確定爆炸點的位置，設立了A、B、C三個觀測點．已知B在A的正西方向4a米處，C在A的正南方向a米處，實驗中，在B，C兩點聽到導彈著地時的爆炸聲比在A點分別晚2秒和1秒，且聲速v=a米/秒，則此導彈爆炸點離A點的 距離為（　�。�

• A． a米
• B． 2a米
• C． 3a米
• D． 4a米

Answer 1

分析 以A，B所在的直線為x軸，AB的中點為原點，建立直角坐標系，可得A（2a，0），B（-2a，0），C（2a，-a），由題意可得|MB|-|MA|=2a＜4a，運用雙曲線的定義可得M的軌跡為右支，求得方程；再由|MC|-|MA|=a，可得M的軌跡為以A為端點的射線AM．求得方程為x=2a，（y＞0），計算即可得到所求距離．

解答 解：以A，B所在的直線為x軸，AB的中點為原點，建立直角坐標系，
可得A（2a，0），B（-2a，0），C（2a，-a），
由題意可得|MB|-|MA|=2a＜4a，
由雙曲線的定義可得，M的軌跡為以A，B為焦點的雙曲線的右支上一點．
可得雙曲線的虛軸長為2$\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1①
又|MC|-|MA|=a，可得M的軌跡為以A為端點的射線AM．
方程為x=2a，（y＞0），②
將②代入①可得，y=3a．
即有導彈爆炸點離A點的距離為3a．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的定義和性質及應用，運用雙曲線的定義是解題的關鍵，考查化簡運算能力，屬于中檔題．