Question

5．設P是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上一點，過橢圓中心作直線交橢圓于A、B兩點，直線PA、PB的斜率分別為k₁，k₂，且${k_1}{k_2}=-\frac{1}{4}$，則橢圓離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 設A（m，n），B（-m，-n），又設P（x₀，y₀），分別代入橢圓方程，作差，再由直線的斜率公式，化簡整理，結合離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設A（m，n），B（-m，-n），
即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
又設P（x₀，y₀），即有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得，$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{n}^{2}}{^{2}}$=0，
即有$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{n}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
則k₁=$\frac{{y}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$，k₂=$\frac{{y}_{0}+n}{{x}_{0}+m}$，
k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{n}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
即為a=2b，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即有離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查離心率的求法，注意運用作差法，同時考查直線的斜率公式的運用，屬于中檔題．