Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程與橢圓C的普通方程；
（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由極坐標(biāo)方程和普通方程的關(guān)系可得直線的方程為$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，消去參數(shù)t可得橢圓的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）聯(lián)立直線和橢圓方程可解的A（0，-$\sqrt{3}$），B（$\frac{8}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$），由兩點(diǎn)間的距離公式可得．

解答 解：（1）由ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得ρ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ-$\frac{1}{2}$ρsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
變形可得直線直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0；
∵橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$，
∴cost=$\frac{x}{2}$，sint=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，
由cos²t+sin²t=1可得（$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{y}{\sqrt{3}}$）²=1，
整理可得橢圓C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）聯(lián)立直線和橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
消去y并整理可得5x²-8x=0，解得x₁=0，x₂=$\frac{8}{5}$，
∴A（0，-$\sqrt{3}$），B（$\frac{8}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）
∴線段AB的長(zhǎng)為$\sqrt{（0-\frac{8}{5}）^{2}+（-\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程和直線的極坐標(biāo)方程，化為普通方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．