Question

19．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若$\frac{^{2}}{ac}$≥$\frac{co{s}^{2}B}{cosAcosC}$，則B的取值范圍為（　　）

• A． （0，$\frac{π}{6}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
• C． （0，$\frac{π}{3}$]
• D． [$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 把已知的不等式化邊為角、化弦為切，得到tan²B≥tanAtanC，由不等式中的等號成立求出B的范圍，結(jié)合選項求得答案．

解答 解：在銳角△ABC中，由$\frac{^{2}}{ac}$≥$\frac{co{s}^{2}B}{cosAcosC}$，得
$\frac{si{n}^{2}B}{sinAsinC}≥\frac{co{s}^{2}B}{cosAcosC}$，
∴tan²B≥tanAtanC，
由tan²B=tanAtanC，可知tanA、tanB、tanC成等比數(shù)列，
設(shè)公比為q，
則$tanA=\frac{tanB}{q}，tanC=q•tanB$，
∴tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanA•tanC}$=$-\frac{tanB（q+\frac{1}{q}）}{1-ta{n}^{2}B}$，
∴$ta{n}^{2}B=1+q+\frac{1}{q}≥3$（q＞0），
∴tanB≥$\sqrt{3}$，B$≥\frac{π}{3}$．
結(jié)合選項可知，滿足$\frac{^{2}}{ac}$≥$\frac{co{s}^{2}B}{cosAcosC}$的B的取值范圍為[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
故選：D．

點評 本題考查三角形的解法，考查了等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，利用“≥”中的“=”成立是解答該題的突破口，屬選擇題中難度較大的問題．