Question

9．若函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，且對任意x₁，x₂∈[a，b]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{1}{2}[f（{x_1}）+f（{x_2}）]$，則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設(shè)f（x）在[1，4]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：
①f（x）在[1，4]上的圖象是連續(xù)不斷的；
②f（x²）在[1，2]上具有性質(zhì)P；
③若f（x）在x=$\frac{5}{2}$處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，4]；
④對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，4]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）$≤$\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$．
其中正確命題的序號是（　�。�3O．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 根據(jù)題設(shè)條件，分別舉出反例，能夠說明①和②都是錯誤的；同時利用已知條件能證明③和④是正確的

解答 解：解：在①中，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，1≤x＜4}\\{2，x=4}\end{array}\right.$在[1，4]上滿足性質(zhì)P，
但f（x）在[1，4]上不是連續(xù)函數(shù)，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=-x在[1，4]上滿足性質(zhì)P，
但f（x²）=-x²在[1，2]上不滿足性質(zhì)P，故②不成立；
在③中：在[1，4]上，f（2）=f（$\frac{x+（4-x）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
f（x）+f（4-x）≥2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）≤f（x）_{min}=f（2）=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=f（2）=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=1，
∴對任意的x₁，x₂∈[1，4]，f（x）=1，故③成立；
 在④中，對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，4]，
有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）$=f（$\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}+{{x}_{2}}^{\;}）+\frac{1}{2}（{x}_{3}+{x}_{4}）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}（f（{x}_{1}）+f（{{x}_{2}}^{\;}））$+$\frac{1}{2}（f（{x}_{3}）+f（{x}_{4}））$]
=$\frac{1}{4}[f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+f（{x}_{3}）+f（{x}_{4}）]$，
∴對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，4]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）$≤$\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$，故④正確．
故選：D．

點評 本題考查的知識點為函數(shù)定義的理解，說明一個結(jié)論錯誤時，只需舉出反例即可．說明一個結(jié)論正確時，要證明對所有的情況都成立．