Question

12．已知數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{1}{2}$，2b_n+1-b_n•b_n+1=1，則b₁+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{_{100}}{10{0}^{2}}$=（　�。�

• A． $\frac{97}{100}$
• B． $\frac{99}{100}$
• C． $\frac{100}{101}$
• D． $\frac{102}{101}$

Answer 1

分析 由數(shù)列的遞推公式，猜想b_n=$\frac{n}{n+1}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，再根據(jù)裂項求和，即可求出答案．

解答 解：∵2b_n+1-b_n•b_n+1=1，
∴b_n+1=$\frac{1}{2-_{n}}$，
∵b₁=$\frac{1}{2}$，
∴b₂=$\frac{2}{3}$，b₃=$\frac{3}{4}$，
可以猜測b_n=$\frac{n}{n+1}$，
利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下，
①當(dāng)n=1時，b₁=$\frac{1}{2}$，等式成立，
②假設(shè)n=k時，等式成立，即b_k=$\frac{k}{k+1}$，
那么n=k+1時，b_k+1=$\frac{1}{2-_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$，
則n=k+1時，等式成立，
由①②可知，猜想成立，
∴$\frac{_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴b₁+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{_{100}}{10{0}^{2}}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…（$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$，
故選：C．

點評 本題考查了通過數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，和裂項求和，屬于中檔題．