Question

3．在四棱錐P-ABCD中，平面四邊形ABCD中AD∥BC，∠BAD為二面角B-PA-D一個(gè)平面角．
（1）若四邊形ABCD是菱形，求證：BD⊥平面PAC；
（2）若四邊形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，問：直線l能否與平面ABCD平行？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，從而BD⊥PA，由四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）由四邊形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD與AB有交點(diǎn)P，從而直線l∩平面ABCD=P，由此得到直線l不能與平面ABCD平行．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，平面四邊形ABCD中AD∥BC，∠BAD為二面角B-PA-D一個(gè)平面角，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，
∵BD⊥PA，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）直線l不能與平面ABCD平行．
理由如下：
∵四邊形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，
∴CD與AB有交點(diǎn)P，∴P∈l，
∴直線l∩平面ABCD=P，
∴直線l不能與平面ABCD平行．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查直線與平面是否平行的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．