Question

15．O為平面上的定點，A、B、C是平面上不共線的三點，若（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OB}$）=0，則△ABC是（　�。�

• A． 以AB為底邊的等腰三角形
• B． 以AB為斜邊的直角三角形
• C． 以AC為底邊的等腰三角形
• D． 以AC為斜邊的直角三角形

Answer 1

分析 將條件式展開化簡，兩邊同時加上${\overrightarrow{OB}}^{2}$，根據(jù)向量的線性運算的幾何意義即可得出答案．

解答 解：∵（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OB}$）=0，∴${\overrightarrow{OA}}^{2}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$-2$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$．
即${\overrightarrow{OA}}^{2}$-2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{OC}}^{2}$-2$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$．兩邊同時加${\overrightarrow{OB}}^{2}$，得（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$）²=（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$）²，即AB²=BC²．
∴AB=BC．∴△ABC是以AC為底邊的等腰三角形．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量線性運算的幾何意義，屬于中檔題．