Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點，P是C上任意一點，且△PF₁F₂的周長為8+4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0），點Q（0，-3）在線段AB的垂直平分線上，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式和橢圓的定義、及a，b，c的關(guān)系，計算即可得到橢圓的方程；
（Ⅱ）由A（-4，0），可設AB的方程為y=k（x+4），k≠0，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，求得M的坐標，由兩直線垂直的條件，即可求得弦長，注意討論k=0的情況．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由橢圓的定義可得，|PF₁|+|PF₂|=2a，
△PF₁F₂的周長為2a+2c=8+4$\sqrt{3}$，
解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{16-12}$=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）由A（-4，0），可設AB的方程為y=k（x+4），k≠0，
代入橢圓方程，可得（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0，
設B（x₂，y₂），AB的中點坐標為M（x₀，y₀），則
x₀=$\frac{-4+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+4）=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
則M（$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），由k_MQ=-$\frac{1}{K}$，可得4k²-4k+1=0，解得k=$\frac{1}{2}$，
此時M（-2，1），|AB|=2|MA|=2$\sqrt{5}$；
當k=0時，AB的中垂線為y軸也合題意，此時|AB|=8．
綜上可得，AB的長為8或2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和橢圓的定義，考查弦長的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．