Question

7．已知f（x）=4^x-3•2^x+3的值域為[7，43]，求x范圍．

Answer 1

分析 令2^x=t，則t＞0，換元可得y=t²-3t+3=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得t的范圍，進而可得x的范圍．

解答 解：令2^x=t，則t＞0，
換元可得y=t²-3t+3=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
令t²-3t+3=7可解得t=4，或t=-1（舍去），
令t²-3t+3=43可解得t=8，或t=-5（舍去），
∵y=t²-3t+3=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在（0，$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞減，
在（$\frac{3}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，且當t=0時y=3，當t=$\frac{3}{2}$時y=$\frac{3}{4}$，
故可得t的范圍為[4，8]，即2^x∈[4，8]，
解得x的范圍為[2，3]

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的值域，換元是解決問題的關鍵，屬基礎題．