Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+a-1，a∈R．
（1）若f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)，求a的取值范圍；
（2）若對于任意a∈（0，4），存在x₀∈[0，2]，使得t≤|f（x₀）|成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)得，函數(shù)的對稱軸不在[0，2]內(nèi)即可；
（2）討論f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，求出f（x）在[0，2]的最大、最小值，即可得出t的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax+a-1，a∈R；
當(dāng)f（x）在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)函數(shù)時，
對稱軸x=$\frac{a}{2}$應(yīng)滿足$\frac{a}{2}$≤0或$\frac{a}{2}$≥2，
即a≤0或a≥4，
∴a的取值范圍是{a|a≤0或a≥4}；
（2）∵f（x）=x²-ax+a-1的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
且a∈（0，4），∴$\frac{a}{2}$∈（0，2），
∴函數(shù)f（x）=x²-ax+a-1在[0，$\frac{a}{2}$]上是減函數(shù)，
在[$\frac{a}{2}$，2]上是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）=x²-ax+a-1在[0，2]的最小值為f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{（a-2）}^{2}}{4}$∈（-1，0），
①當(dāng)$\frac{a}{2}$∈[1，2），即2≤a＜4時，
函數(shù)f（x）=x²-ax+a-1（x∈[0，2]）在x=0時取得最大值，
且最大值為a-1，
由于此時2≤a＜4，則1≤a-1＜3；
②當(dāng)$\frac{a}{2}$∈（0，1），即0＜a＜2時，
函數(shù)f（x）=x²-ax+a-1（x∈[0，2]）在x=2時取得最大值，
且最大值為2²-2a+a-1=3-a，
由于此時0＜a＜2，則1＜3-a＜3；
綜上，函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上滿足0≤|f（x）|＜3，
∴t＜3；
即t的取值范圍是（-∞，3）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了恒成立問題與存在性問題，是綜合性題目．