Question

7．在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)地抽取500個(gè)樣品，并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布直方圖如下．根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級(jí)，其中壽命大于或等于500天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品．
（I）根據(jù)這500個(gè)數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，求出這批日光燈管的平均壽命；
（Ⅱ）某人從這個(gè)批次的燈管中隨機(jī)地購買了4個(gè)進(jìn)行使用，若以上述頻率作為概率，用X表示此人所購買的燈管中優(yōu)等品的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)這500個(gè)數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，利用組中值求出這批日光燈管的平均壽命；
（Ⅱ）X的所有取值為0，1，2，3，4．分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）根據(jù)這500個(gè)數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，這批日光燈管的平均壽命為50×0.05+150×0.1+250×0.15+350×0.3+450×0.15+550×0.2+650×0.05=392.5天；
（Ⅱ）X的所有取值為0，1，2，3，4．
由題意，購買一個(gè)燈泡，且這個(gè)燈泡是次品的概率為0.1+0.15=0.25，
從本批次燈泡中購買4個(gè)，X表示4個(gè)燈泡中次品的個(gè)數(shù)，則X～B（4，0.25），
∴P（X=0）=C₄⁰×（1-0.25）⁴=$\frac{81}{256}$，
P（X=1）=C₄¹×0.25×（1-0.25）³=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=C₄²×0.25²×（1-0.25）²=$\frac{54}{256}$，
P（X=3）=C₄³×0.25³×（1-0.25）=$\frac{12}{256}$
P（X=4）=C₄⁴×0.25⁴×（1-0.25）⁰=$\frac{1}{256}$
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{1}{256}$

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{81}{256}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{54}{256}$+3×$\frac{12}{256}$+4×$\frac{1}{256}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．