Question

4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為S_n，滿足a²_n+1=2s_n+n+4，且a₂-1，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令${c_n}=\frac{{{a_n}-1}}{b_n}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且${T_n}＞\frac{m-1}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件得出a²_n+1=2S_n+n+4，①和a²_n=2S_n-1+n+3，②，通過(guò)兩式相減得到a_n+1=a_n+1，即為等差數(shù)列，再求b_n的通項(xiàng)；
（2）先運(yùn)用錯(cuò)位相減法求得c_n的前n項(xiàng)和T_n，再用作差法判斷單調(diào)性，最后求m的范圍．

解答 （1））∵a²_n+1=2S_n+n+4，------------①
∴n≥2時(shí)，a²_n=2S_n-1+n-1+4，---------②
①-②，得：a_n+1²-a_n²=2a_n+1，∴a_n+1²=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+1，
因此，數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
又a₂=a₁+1，a₂²=2a₁+1+4，解得a₁=2或a₁=-2（舍），
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
∵a₂-1，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，
∴b₁=2+1-1=2，b₂=a₃=3+1=4，b₃=a₇=7+1=8，∴q=2，
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ，
所以，a_n=n+1，b_n=2ⁿ；
（2）根據(jù)題意，c_n=$\frac{{a}_{n}-1}{_{n}}$=$\frac{n}{2^n}$，
運(yùn)用錯(cuò)位相減法得T_n=2-$\frac{n+2}{2^n}$，下面證明T_n單調(diào)遞增，
T_n+1-T_n=（2-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$）-（2-$\frac{n+2}{2^n}$）
=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$[（2n+4）-（n+3）]
=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$＞0恒成立，所以，所以{T_n}單調(diào)遞增，
所以，要使T_n＞$\frac{m-1}{2}$恒成立，
只需滿足T₁＞$\frac{m-1}{2}$即可，解得，m＜2．
因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用和單調(diào)性的證明，屬于中檔題．