Question

19．線段A₁A₂、B₁B₂分別是已知橢圓的長軸和短軸，F(xiàn)₂是橢圓的一個焦點（|A₁F₂|＞|A₂F₂|），若該橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，則∠A₁B₁F₂等于（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 120°
• D． 90°

Answer 1

分析 做出相應圖形，利用橢圓的簡單性質(zhì)得出A₁B₁²+B₁F₂²=A₁F₂²，根據(jù)勾股定理判斷得出∠A₁B₁F₂的度數(shù)即可．

解答 解：如圖所示，A₁F₂=a+c，A₁B₁²=a²+b²，B₁F₂=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=a，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，a+c=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a，
∴A₁B₁²+B₁F₂²=2a²+b²=3a²-c²=3a²-$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$a²，A₁F₂²=（a+c）²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$a²，
∴A₁B₁²+B₁F₂²=A₁F₂²，
則∠A₁B₁F₂=90°，
故選：D．

點評 此題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，勾股定理的逆定理，熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)是解本題的關鍵．