Question

16．若直線y=k（x-3）+4和曲線y=$\sqrt{9-{x^2}}$有且只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為$\left\{{\frac{7}{24}}\right\}∪（{\frac{2}{3}，+∞}）$．

Answer 1

分析 由曲線方程的特點得到此曲線表示在x軸上方的圓的一半，可得出圓心坐標和圓的半徑r，然后根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形，直線y=k（x-3）+4，恒過（3，4），由圖形過（3，4），（-3，0）的直線的斜率為$\frac{2}{3}$；
由圓心到直線的距離d=$\frac{|-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，可得直線與圓相切時，直線的斜率為$\frac{7}{24}$，綜上，得到滿足題意的k的范圍．

解答 解：由題意可知：曲線方程表示一個在x軸上方的圓的一半，
則圓心坐標為（0，0），圓的半徑r=3，
畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

直線y=k（x-3）+4，恒過（3，4），由圖形過（3，4），（-3，0）的直線的斜率為$\frac{2}{3}$；
由圓心到直線的距離d=$\frac{|-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，可得直線與圓相切時，直線的斜率為$\frac{7}{24}$．
綜上，直線與曲線只有一個交點時，k的取值范圍為$\left\{{\frac{7}{24}}\right\}∪（{\frac{2}{3}，+∞}）$．
故答案為：$\left\{{\frac{7}{24}}\right\}∪（{\frac{2}{3}，+∞}）$．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題意得出此曲線表示在y軸右邊的單位圓的一半，并畫出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．