分析 (1)由已知得bn+1-bn=an+12-an2-an+1+an=2,由此能證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
(2)因為cn=(2an-1)2=8n-7,所以$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{(8n-7)(8n+1)}$=$\frac{1}{8}(\frac{1}{8n-7}-\frac{1}{8n+1})$,由此利用裂項求和法能求出k的取值范圍.
解答 證明:(1)∵an+1-an=$\frac{2}{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}$(n∈N*).
∴an+12-an2-an+1+an=2,
∵bn=(an-$\frac{1}{2}$)2=${{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}+\frac{1}{4}$,
∴bn+1-bn=an+12-an2-an+1+an=2,
∵$_{1}=({a}_{1}-\frac{1}{2})^{2}=(1-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$,
∴數(shù)列{bn}是以$\frac{1}{4}$為首項,2為公差的等差數(shù)列.
解:(2)由(1)得bn=$\frac{1}{4}$+(n-1)×2=2n-$\frac{7}{4}$,
∴an=$\sqrt{2n-\frac{7}{4}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1+\sqrt{8n-7}}{2}$,
∴cn=(2an-1)2=8n-7,
∴$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{(8n-7)(8n+1)}$=$\frac{1}{8}(\frac{1}{8n-7}-\frac{1}{8n+1})$,
∴Sn=$\frac{1}{{c}_{1}{c}_{2}}$+$\frac{1}{{c}_{2}{c}_{3}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$
=$\frac{1}{8}$(1-$\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{17}+\frac{1}{17}-\frac{1}{25}+…+\frac{1}{8n-7}$-$\frac{1}{8n+1}$)
=$\frac{1}{8}(1-\frac{1}{8n+1})$
=$\frac{1}{8}-\frac{1}{64n+8}$<$\frac{1}{8}$
∵Sn<k恒成立,∴k≥$\frac{1}{8}$.
∴k的取值范圍是[$\frac{1}{8}$,+∞).
點評 本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列前n項和的計算,是中檔題.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
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