Question

6．如圖所示，某公司設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形薄板ABCD（AB＞AD），其周長(zhǎng)為8m，這種薄板須沿對(duì)角線AC折疊后使用．設(shè)AB′交DC于點(diǎn)P．問(wèn)AB長(zhǎng)為多少時(shí)，△ADP的面積最大？并求最大面積．

Answer 1

分析 由題意，設(shè)AB=x，AD=4-x．因x＞4-x，故2＜x＜4，設(shè)DP=y，則PC=x-y，運(yùn)用三角形全等，結(jié)合勾股定理，可得y的關(guān)系式，記△ADP的面積為S₁，則S₁=$\frac{1}{2}$（4-x）（4-$\frac{8}{x}$），運(yùn)用基本不等式可得最大值．

解答 解：由題意，設(shè)AB=x，AD=4-x．因x＞4-x，故2＜x＜4，
設(shè)DP=y，則PC=x-y．
因△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x-y．
由 PA²=AD²+DP²，得（x-y）²=（4-x）²+y²，
即有y=4-$\frac{8}{x}$，2＜x＜4，
記△ADP的面積為S₁，則
S₁=$\frac{1}{2}$（4-x）（4-$\frac{8}{x}$）=12-2（x+$\frac{8}{x}$）≤12-8$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2$\sqrt{2}$∈（1，2）時(shí)，S₁取得最大值12-8$\sqrt{2}$．
故當(dāng)AB=2$\sqrt{2}$時(shí)，△ADP的面積最大，最大面積為12-8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意根據(jù)題意求出面積函數(shù)的解析式，運(yùn)用基本不等式，屬于中檔題