Question

1．（重點中學做）已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，（x＜1）}\\{lnx，（x≥1）}\end{array}\right.$，若關于x的方程f（x）=ax有且僅有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用導數(shù)的幾何意義求出對應的切線方程以及斜率，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
若a≤0時，方程f（x）=ax不可能有三個不相等的實數(shù)根，
則必有a＞0，
當直線y=ax與y=lnx在x＞1時相切時，
設切點坐標為（x₀，y₀），
則f′（x）=$\frac{1}{x}$，即f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
則切線方程為y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+y₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+lnx₀-1，
∵切線方程為y=ax，
∴a=$\frac{1}{{x}_{0}}$且lnx₀-1=0，則x₀=e，
則a=$\frac{1}{e}$，
要使方程f（x）=ax有且僅有三個不相等的實數(shù)根，
則0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，求 函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．