Question

7．已知在平面直角坐標(biāo)，$\overrightarrow{a}$=（-1，2），點(diǎn)A（8，0），B（n，t），非零向量$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{c}$|=2|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$+3$\overrightarrow$|．
（1）若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求向量$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)；
（2）求$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|列出方程組，解出n，t．
（2）根據(jù)2|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$+3$\overrightarrow$|得出$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$與|$\overrightarrow$|的關(guān)系，代入夾角公式解出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（n-8，t），∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，∴8-n+2t=0，∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，
∴（n-8）²+t²=5×8²，解得n=-8，t=8，或n=24，t=-8．
∴$\overrightarrow{OB}$=（-16，8）或（16，-8）．
（2）∵|$\overrightarrow{c}$|=2|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$+3$\overrightarrow$|，∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=4${\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow{c}}^{2}$+9${\overrightarrow}^{2}$+6$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$．∴$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=-$\frac{3}{2}$${\overrightarrow}^{2}$，∴cos＜$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{c}|}$=-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)公式，平面向量的夾角公式，屬于中檔題．