Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+lo{g}_{2}x，x＞0}\\{{2}^{x}，x≤0}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=f[f（x）]-$\frac{1}{2}$的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則（　�。�

• A． x₂+x₃=$\frac{3}{4}$
• B． x₂+x₃=1
• C． x₁+x₂=$\frac{1}{4}$
• D． x₁+x₂=-$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 令f[f（x）]-$\frac{1}{2}$=0，從而可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或f（x）=-1，再討論分別求解，從而確定三個零點，從而解得．

解答 解：令f[f（x）]-$\frac{1}{2}$=0，
即1+log₂f（x）-$\frac{1}{2}$=0或2^f（x）-$\frac{1}{2}$=0，
解得，f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或f（x）=-1，
若f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則1+log₂x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或2^x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則log₂x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1或x=-$\frac{1}{2}$，
若f（x）=-1，
則1+log₂x=-1，
故x=$\frac{1}{4}$，
故x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{1}{4}$，log₂x₃=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1；
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的關系應用及復合函數(shù)的性質的應用．