Question

6．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，P為線段B₁D₁上一點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：AC⊥BP；
（Ⅱ） 當(dāng)P為線段B₁D₁的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD，證明AC⊥BD，AC⊥BB₁，說(shuō)明AC⊥平面BB₁D₁D，即可證明AC⊥BP．
（Ⅱ）求出V_P-ABC，l設(shè)三棱錐A-PBC的高為h，利用V_A-PBC=V_P-ABC，即可求解三棱錐A-PBC的高．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：連結(jié)BD，因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁是長(zhǎng)方體，且AB=BC=2，
所以四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，…（1分）

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥BB₁，…（2分）
因?yàn)锽D?平面BB₁D₁D，BB₁?平面BB₁D₁D，
且BD∩BB₁=B，…（3分）
所以AC⊥平面BB₁D₁D，…（4分）
因?yàn)锽P?平面BB₁D₁D，所以AC⊥BP．…（5分）
（Ⅱ）點(diǎn)P到平面ABC的距離AA₁=4，…（6分）△ABC的面積${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•AB•BC=2$，…（7分）
所以${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•A{A_1}=\frac{1}{3}×2×4=\frac{8}{3}$，…（8分）
在Rt△BB₁P中，$B{B_1}=4，{B_1}P=\sqrt{2}$，所以$BP=3\sqrt{2}$，同理$CP=3\sqrt{2}$．
又BC=2，所以△PBC的面積${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{{{（{3\sqrt{2}}）}^2}-{1^2}}=\sqrt{17}$．…（10分）
設(shè)三棱錐A-PBC的高為h，則因?yàn)閂_A-PBC=V_P-ABC，所以$\frac{1}{3}{S_{△PBC}}•h=\frac{8}{3}$，…（11分）
所以$\frac{{\sqrt{17}}}{3}h=\frac{8}{3}$，解得$h=\frac{{8\sqrt{17}}}{17}$，即三棱錐A-PBC的高為$\frac{{8\sqrt{17}}}{17}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．