Question

8．如圖，∠BAC的平分線與BC和△ABC的外接圓分別相交于D和E，延長AC交過D，E，C三點(diǎn)的圓于點(diǎn)F．
（1）求證：EC=EF；（2）若ED=2，EF=3，求AC•AF的值．

Answer 1

分析 （1）證明∠ECF=∠EFC，即可證明EC=EF；
（2）證明△CEA∽△DEC，求出EA，利用割線定理，即可求AC•AF的值．

解答 （1）證明：因?yàn)椤螮CF=∠CAE+∠CEA=∠CAE+∠CBA，∠EFC=∠CDA=∠BAE+∠CBA，AE平分∠BAC，
所以∠ECF=∠EFC，所以EC=EF．---（4分）
（2）解：因?yàn)椤螮CD=∠BAE=∠EAC，∠CEA=∠DEC，
所以△CEA∽△DEC，即$\frac{CE}{EA}=\frac{DE}{CE}，EA=\frac{{E{C^2}}}{DE}$，---（6分）
由（1）知，EC=EF=3，所以$EA=\frac{9}{2}$，---（8分）
所以$AC•AF=AD•AE=（AE-DE）•AE=\frac{45}{4}$．---（10分）

點(diǎn)評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查割線定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．