Question

3．如圖△ABC中，點D在邊BC上，且BD=4，DC=2，∠B=30°，∠ADC=120°，求AC的長及△ABC的面積．

Answer 1

分析 由題意可得∠BAD=90°，由直角三角形可得AB和AD長，在△ACD中由余弦定理可得AC，代入S=S_△ABD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AB×AD+$\frac{1}{2}$×AD×CD×sin∠ADC，計算可得面積．

解答 解：由題意可得∠BAD=∠ADC-∠B=120°-30°=90°，
∴在RT△ABD中，AB=BDcosB=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
AD=BDsinB=4×$\frac{1}{2}$=2，
在△ACD中由余弦定理可得
AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2•AD•CD•cos∠ADC}$
=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積S=S_△ABD+S_△ACD
=$\frac{1}{2}$×AB×AD+$\frac{1}{2}$×AD×CD×sin∠ADC
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2+$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．