Question

15．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的$\sqrt{3}$倍，再將所得圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，記函數(shù)y=g（x）-3在軸右側(cè)的零點(diǎn)依次為x₁、x₂、…、x_n，求x₁₂₂的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象求出函數(shù)的周期，求出A，ω和φ的值即可求f（x）的解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，以及y=g（x）-3的表達(dá)式和零點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由圖象知f（0）=f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$，
∴函數(shù)關(guān)于x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱，
則$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{4}-\frac{π}{12}=\frac{2π}{12}$，
則函數(shù)周期T=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，則ω=3，
則f（x）=Acos（3x+φ），
∵f（$\frac{π}{12}$）=Acos（3×$\frac{π}{12}$+φ）=A，
∴cos（$\frac{π}{4}$+φ）=1，即$\frac{π}{4}$+φ=2kπ，
則φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=-$\frac{π}{4}$，
則f（x）=Acos（3x-$\frac{π}{4}$），
∵f（0）=$\sqrt{2}$，
∴f（0）=Acos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{\sqrt{2}A}{2}=\sqrt{2}$，則A=2，
即f（x）的解析式為f（x）=2cos（3x-$\frac{π}{4}$）；
（2）將f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的$\sqrt{3}$倍，得到f（x）=2$\sqrt{3}$cos（3x-$\frac{π}{4}$）；
再將所得圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）=2$\sqrt{3}$cos[3（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]=2$\sqrt{3}$cos（3x-$\frac{3π}{4}$），
函數(shù)y=g（x）-3=2$\sqrt{3}$cos（3x-$\frac{3π}{4}$）-3，
由y=g（x）-3=2$\sqrt{3}$cos（3x-$\frac{3π}{4}$）-3=0得cos（3x-$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則3x-$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{6}$+2kπ，或者3x-$\frac{3π}{4}$=-$\frac{π}{6}$+2kπ，
即x=$\frac{11π}{36}$+$\frac{2kπ}{3}$，或者x=$\frac{17π}{36}$+$\frac{2kπ}{3}$，k≥0，
記函數(shù)y=g（x）-3在軸右側(cè)的零點(diǎn)依次為x₁、x₂、…、x_n，
則當(dāng)k=60時(shí)，x=$\frac{17π}{36}$+$\frac{2kπ}{3}$=$\frac{17π}{36}$+$\frac{120π}{3}$=$\frac{1457π}{36}$，即x₁₂₂=$\frac{1457π}{36}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．