Question

19．已知實數(shù)x、y滿足方程y²=x，求函數(shù)z=$\frac{y-1}{x+2}$最值．

Answer 1

分析 作出拋物線y²=x的圖形，由函數(shù)z=$\frac{y-1}{x+2}$的幾何意義是拋物線上的點（x，y）與定點（-2，1）的斜率．設出切線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，運用判別式為0，解方程即可得到所求的最值．

解答 解：作出拋物線y²=x的圖形，
函數(shù)z=$\frac{y-1}{x+2}$的幾何意義是拋物線上的點（x，y）
與定點（-2，1）的斜率．
過點（-2，1）作拋物線的切線，
設方程為y-1=k（x+2），即y=kx+2k+1，
代入拋物線的方程，
可得k²x²+（4k²+2k-1）x+（2k+1）²=0，
由相切的條件可得，△=（4k²+2k-1）²-4k²（2k+1）²=0，
解方程可得k=$\frac{-1±\sqrt{3}}{4}$．
則函數(shù)z的最小值為$\frac{-1-\sqrt{3}}{4}$，最大值為$\frac{-1+\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用幾何意義：直線的斜率，同時考查直線和拋物線相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題．