Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-mx+1，g（x）=a^x-xlna（a＞0，且a≠1），函數(shù)f（x）在x=0處的切線與直線y=（1-e）x平行．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（3）證明：不等式f（x）+g（x）＞2恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得m的值；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，對實(shí)數(shù)a分類討論后，分別令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，求得單調(diào)區(qū)間；
（3）不等式f（x）+g（x）＞2恒成立等價(jià)為f（x）＞2-g（x）恒成立，分別求出f（x），g（x）的最值，只要f（x）的最小值大于2-g（x）的最大值，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-mx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-m，
即有在x=0處的切線斜率為e⁰-m=1-m，
由切線與直線y=（1-e）x平行，可得
1-m=1-e，解得m=e；
（2）∵g（x）=a^x-xlna，
∴g′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0，
令g′（x）＞0，即a^x-1＞0，解得x＞0
令g′（x）＜0，即a^x-1＜0，解得x＜0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，
令g′（x）＞0，即a^x-1＜0，解得x＞0
令g′（x）＜0，即a^x-1＞0，解得x＜0；
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）證明：不等式f（x）+g（x）＞2恒成立等價(jià)為f（x）＞2-g（x）恒成立，
y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-e，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=1處取得最小值，且為1，即f（x）≥1；
由（2）可得g（x）在x=0處取得最小值，且為1，
則2-g（x）≤1，由于最值取得的條件不同，
則有不等式f（x）+g（x）＞2成立．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，同時(shí)考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．