Question

14．已知cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{1}{3}$，β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），求cos（β-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 由已知及兩角差的余弦函數(shù)公式可求cosβ=$\frac{1}{3}$，結(jié)合范圍β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinβ，由特殊角的三角函數(shù)值及兩角差的余弦函數(shù)公式即可求值．

解答 解：∵cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=cos[（α+β）-α]=cosβ=$\frac{1}{3}$，
∵β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
∴sinβ=-$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosβ+sinβ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{1}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)在三角函數(shù)求值中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．