Question

20．已知a₁=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$），a₂=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），a₃=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），a₄=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），…，以此類推a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀₈的值為$\frac{504}{2017}$．

Answer 1

分析 由題意可得a_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），即可求出a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀₈的和．

解答 解：a₁=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$），
a₂=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），
a₃=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），
a₄=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），
…，
可以歸納a_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀₈=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{2×1008-1}$-$\frac{1}{2×1008+1}$）]=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{504}{2017}$；
故答案為：$\frac{504}{2017}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理的問(wèn)題，關(guān)鍵是找出通項(xiàng)公式，屬于中檔題．