Question

10．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有三個面的面積分別為12，20，15，則其外接球球面上的點(diǎn)到平面ABCD的最大距離為（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}+5}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}+3}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}+5}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)長方體棱長分別為：a，b，c，由長方體性質(zhì)求出b=3，a=4，c=5，從而求出長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球半徑，由此能求出其外接球球面上的點(diǎn)到平面ABCD的最大距離．

解答 解：設(shè)長方體棱長分別為：a，b，c，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有三個面的面積分別為12，20，15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=12}\\{ac=20}\\{bc=15}\end{array}\right.$，解得b=3，a=4，c=5，
∴長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球半徑r=$\frac{\sqrt{9+16+25}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴當(dāng)AB=b=3，BC=a=4，AA₁=c=5，
其外接球球面上的點(diǎn)到平面ABCD的最大距離為：
d_max=r+$\frac{c}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}+5}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查正方體外接球球面上的點(diǎn)到平面ABCD的最大距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意長方體性質(zhì)及外接球性質(zhì)的合理運(yùn)用．