Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+$\frac{x}{x+1}$，g（x）=f（x）-x=2^1-h（x），當(dāng)x＞0時(shí)，下列判斷正確的是（　�。�

• A． g（x）＞h（x）
• B． g（x）≥h（x）
• C． g（x）＜h（x）
• D． g（x）≤h（x）

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最小值，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到h（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，繼而求出h（x）的最大值，即可比較大小．

解答 解：g（x）=f（x）-x=e^x+$\frac{x}{x+1}$，
∴g′（x）=f′（x）-x′=e^x+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$-1＞0，在x＞0時(shí)恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=1，
∵g（x）=f（x）-x=2^1-h（x），
∴l(xiāng)og₂（g（x））=1-h（x），
∴h（x）=1-log₂（g（x）），
∵y=log₂x為增函數(shù)，g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=1-log₂1=1，
∴g（x）＞h（x），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是求導(dǎo)和利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．