Question

3．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x，其中x∈（0，1），以A，B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e₁，以C，D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e₂，若對任意x∈（0，1）都有不等式$t＜\frac{{{{（{e_1}+{e_2}）}^2}}}{8}$恒成立，則t的最大值為（　�。�

• A． $\frac{7}{4}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{5}{8}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理表示出BD，進而根據(jù)雙曲線的定義可得到a₁的值，再由AB=2c₁，e=$\frac{c}{a}$可表示出e₁，同樣的在橢圓中用c₂和a₂表示出e₂，然后利用換元法即可求出e₁+e₂的取值范圍，然后求出$\frac{（{e}_{1}+{e}_{2}）^{2}}{8}$的取值范圍即可．

解答 解：在等腰梯形ABCD中，BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cos∠DAB
=1+4-2×1×2×（1-x）=1+4x，
由雙曲線的定義可得a₁=$\frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$，c₁=1，e₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$，
由橢圓的定義可得a₂=$\frac{\sqrt{1+4x}+1}{2}$，c₂=x，e₂=$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，
則e₁+e₂=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$，
令t=$\sqrt{1+4x}-1$∈（0，$\sqrt{5}$-1），
則e₁+e₂=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{4}{t}$）在（0，$\sqrt{5}$-1）上單調(diào)遞減，
所以e₁+e₂＞$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{5}$-1+$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$）=$\sqrt{5}$，
則$\frac{（{e}_{1}+{e}_{2}）^{2}}{8}$＞$\frac{5}{8}$，
則t≤$\frac{5}{8}$，
故t的最大值為$\frac{5}{8}$
故選：C．

點評 本題主要考查橢圓的定義和簡單性質(zhì)、雙曲線的定義和簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．